ТЕОРЕТИЧНИ ОСНОВИ НА ИНДУСТРИАЛНАТА МАТЕМАТИКА
1. Вектори в Rn. Векторни функции на скаларен аргумент.
Моделиране: Увод в Нютоновата механика
Хорариум: 2 лекции
Съдържание:
-
Вектори в Rn. Геометрични и алгебрични вектори, приложения. Скаларно и векторно произведение и приложения.
-
Векторни функции на скаларен аргумент -- приложения, визуализация, граница, производна (аналитична дефиниция, геометричен и интуитивен смисъл)
-
Въведение в Нютоновата механика. Движение на частица -- основни величини, закони на Нютон, извеждане на примерни модели
-
Движение по криволинейна траектория. Кривина. Равномерно движение по окръжност. Движение по произволна траектория -- нормална и тангенциална компонента на ускорението
Видео:
Други ресурси:
2. Скаларни и векторни функции на векторен аргумент
Моделиране: Уравнения на топло- и масо-пренос
Хорариум: 3 лекции
Съдържание:
-
Скаларни функции на векторен аргумент – визуализация, граници, частни производни, линеаризация, градиент, производна по направление, chain rule (производна на сложна функция)
-
Векторни функции на векторен аргумент – визуализация, граници, линеаризация, метод на Нютон за нелинейни алгебрични системи, дивергенция, ротация
-
Уравнение на непрекъснатостта общ вид, приноси към потока (дифузионен, адвективен, насочено движение към атрактант), уравнения от тип реакция-дифузия-адвекция-хемотаксис
-
Привеждане на оператора ∇ в недекартови координати
Видео:
3. Интегрално смятане
Хорариум: 3 лекции
Съдържание:
-
Криволинейни интеграли – дефиниция, примери за интегрални величини, връзка между инфинитезималните величини, свързани с криволинейния интеграл, формула за пресмятане чрез параметризацията на кривата, основна теорема за криволинейни интеграли
-
Основни теореми на интегралното смятане – теорема на Green, теорема за дивергенцията, теорема на Stokes
-
Извеждане на уравнението на непрекъснатостта в общия вид
-
Точна координатно-инвариантна дефиниция на понятието дивергенция
Видео:
4. Основни подпространства, свързани с дадена матрица. Линейни алгебрични системи
Хорариум: 2 лекции
Съдържание:
-
Геометрия на линейните алгебрични системи -- row picture, column picture
-
Четирите основни подпространства, асоциирани с дадена матрица
-
Основна теорема на линейната алгебра
-
Характеризация на решенията на дадена линейна алгебрична система
Видео:
5. Линейни оператори
Хорариум: 2 лекции
Съдържание:
-
Дефиниция на линеен оператор
-
Матрица на линеен оператор (в крайномерни пространства) -- намиране, смяна на базисите
-
Собствени стойности и собствени вектори, диагонализация на матрица, диагонализация на симетрична матрица, приложения на диагонализацията
Видео:
6. Метод на най-малките квадрати. SVD
Хорариум: 2 лекции
Съдържание:
-
Три еквивалентни формулировки на линейната задача за най-малки квадрати
-
Нормални уравнения
-
Декомпозиция по сингулярни стойности (SVD). Приложения.
-
Псевдообратна матрица и приложение за решаване на линейната задача за най-малки квадрати.
Видео:
7. Тензорно смятане
Моделиране: Модели от механика на непрекъснатите среди. Уравнения на Navier–Stokes. Уравнения на линейната еластостатика и еластодинамика.
Хорариум:
Съдържание:
-
Реципрочни базиси, ковариантни и контравариантни координати, сумиране по Айнщайн
-
Ковариантни и контравариантни базиси. Символи на Christoffel. Пресмятане на производна по времето. Координатна форма на II закон на Нютон в произволни координати.
-
Ковариантна производна. Операторът ∇ в произволна координатна система. Дивергенция, ротация, градиент на векторно поле.
-
Тензори и тензорни величини. Координатно представяне на даден тензор. Примери за тензорни величини. Тензор на напреженията на Коши. Теорема на Коши.
-
Модели от механиката на непрекъснатите среди. Ойлерова и Лагранжева постановка. Материална производна. Конститутивни закони.
-
Уравнения на Navier–Stokes – общ вид. Уравнения на Navier–Stokes за несвиваеми Нютонови флуиди
-
Уравнения на линейната еластостатика и линейната еластодинамика
Видео:
9. Автомоделни решения и междинна асимптотика на решенията на ЧДУ
Хорариум:
Съдържание:
-
Автомоделно решение на линейната N-мерна радиално-симетрична задача за мигновен точков източник на топлина
-
Автомоделно решение на нелинейната N-мерна радиално-симетрична задача за мигновен точков източник на топлина
Видео:
Записки по "Математически модели и изчислителен експеримент" на проф. дмн Стефка Димова:
10. Локални асимптотични свойства на решенията на ОДУ.
Моделиране: модели на популационна динамика, реакционни схеми
Хорариум:
Съдържание:
-
Междинна асимптотика на решенията на начално-гранични задачи за ЧДУ.
-
Основни понятия, свързани с асимптотиката на решенията на динамични системи. Автономна система, фазово пространство, траектория, равновесна точка, периодична орбита, устойчивост по Ляпунов, асимптотична устойчивост.
-
Примери за автономни системи ОДУ, в т.ч. модели на популационна динамика, модели, базирани на реакционни схеми и др.
-
Линейни автономни системи. Свойства на решенията и фазови портрети.
-
Теорема на Hartman–Grobman. Линеаризация на нелинейни автономни системи.
Видео:
11. Параметрична идентификация в математически модели
Моделиране: емпирични модели
Хорариум:
Съдържание:
-
Обща формулировка на задачата за параметрична идентификация. Постановка на нелинейната задача за най-малки квадрати.
-
Методи с линейно търсене. Метод на най-бързото спускане, метод на Нютон, метод на Гаус–Нютон
-
Методи с търсене в доверителна област. Метод на Levenberg–Marquardt.
-
Параметрична идентификация в модели, описвани с диференциални уравнения
-
Някои примери за построяване на емпирични модели
Видео:
12. Глобални асимптотични свойства на решенията на автономни системи ОДУ
Хорариум:
Съдържание:
-
ω-гранично множество – дефиниция и свойства
-
Метод на нулевите изоклини
-
Теория на Poincare–Bendixson за двумерни системи. Теорема на Poincare–Bendixson, лема на Butler–McGehee, критерий на Dulac
-
Теорема на Ляпунов. Принцип за инвариантността на LaSalle
-
Поглед към "голямата картина" в курса
Видео:
